গাণিতিক প্রত্যাশা (Mathematical Expectation) দৈব চলকের সম্ভাব্য মানগুলোর সম্ভাবনার ওজনযুক্ত গড় নির্ধারণ করে। এটি দৈব চলকের দীর্ঘমেয়াদি গড় মান হিসেবেও পরিচিত। নিচে গাণিতিক প্রত্যাশা সম্পর্কিত কয়েকটি সমস্যা এবং তাদের সমাধান দেওয়া হলো।
একটি ছক্কা নিক্ষেপ করা হয়েছে। \(X\) দৈব চলকটি ছক্কার মুখে আসা সংখ্যাকে নির্দেশ করে। \(P(X=x) = \frac{1}{6}\) প্রতিটি মানের জন্য। \(E(X)\) নির্ণয় করুন।
সম্ভাব্য মানগুলো: \(X = {1, 2, 3, 4, 5, 6}\)।
প্রত্যেকটির সম্ভাবনা: \(P(X=x) = \frac{1}{6}\)।
গাণিতিক প্রত্যাশার সূত্র:
\[
E(X) = \sum_{i=1}^{6} x_i \cdot P(X = x_i)
\]
এখন,
\[
E(X) = \frac{1}{6}(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = \frac{1}{6}(21) = 3.5
\]
সুতরাং, \(E(X) = 3.5\)।
একটি মুদ্রা নিক্ষেপ করা হয়েছে। যদি মাথা (Head) আসে, \(X = 10\) এবং যদি লেজ (Tail) আসে, \(X = 5\)। মুদ্রা ন্যায়সঙ্গত হওয়ায় \(P(Head) = P(Tail) = 0.5\)। \(E(X)\) নির্ণয় করুন।
সম্ভাব্য মানগুলো: \(X = {10, 5}\)।
সম্ভাবনা: \(P(X = 10) = 0.5\), \(P(X = 5) = 0.5\)।
গাণিতিক প্রত্যাশার সূত্র:
\[
E(X) = \sum_{i} x_i \cdot P(X = x_i)
\]
এখন,
\[
E(X) = (10 \cdot 0.5) + (5 \cdot 0.5) = 5 + 2.5 = 7.5
\]
সুতরাং, \(E(X) = 7.5\)।
ধরা যাক \(X\) একটি দৈব চলক, যার \(E(X) = 4\)। যদি \(Y = 3X + 2\), তবে \(E(Y)\) নির্ণয় করুন।
গাণিতিক প্রত্যাশার রৈখিকতার সূত্র ব্যবহার করি:
\[
E(aX + b) = aE(X) + b
\]
এখানে, \(a = 3\) এবং \(b = 2\)।
তাহলে,
\[
E(Y) = 3E(X) + 2 = 3(4) + 2 = 12 + 2 = 14
\]
সুতরাং, \(E(Y) = 14\)।
ধরা যাক \(X\) এবং \(Y\) দুটি স্বাধীন দৈব চলক, যেখানে \(E(X) = 5\) এবং \(E(Y) = 3\)। \(E(X + Y)\) এবং \(E(XY)\) নির্ণয় করুন।
সুতরাং, \(E(X + Y) = 8\) এবং \(E(XY) = 15\)।
ধরা যাক \(X\) একটি দৈব চলক, যার মান \(1, 2, 3\), এবং এর যথাক্রমে সম্ভাবনা \(P(X = 1) = 0.2\), \(P(X = 2) = 0.5\), এবং \(P(X = 3) = 0.3\)। যদি \(g(X) = 2X + 1\), তবে \(E(g(X))\) নির্ণয় করুন।
গাণিতিক প্রত্যাশার সূত্র:
\[
E(g(X)) = \sum_{i} g(x_i) \cdot P(X = x_i)
\]
এখন \(g(X)\)-এর মান নির্ণয় করি:
এখন,
\[
E(g(X)) = (3 \cdot 0.2) + (5 \cdot 0.5) + (7 \cdot 0.3)
\]
\[
E(g(X)) = 0.6 + 2.5 + 2.1 = 5.2
\]
সুতরাং, \(E(g(X)) = 5.2\)।
ধরা যাক \(X\) একটি ধারাবাহিক দৈব চলক, যার সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশন (PDF):
\[
f(x) = 2x, \quad 0 \leq x \leq 1
\]
\(E(X)\) নির্ণয় করুন।
গাণিতিক প্রত্যাশার সূত্র:
\[
E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) dx
\]
এখানে \(f(x) = 2x\), এবং \(0 \leq x \leq 1\), তাই:
\[
E(X) = \int_{0}^{1} x \cdot 2x , dx = \int_{0}^{1} 2x^2 , dx
\]
এখন সমাধান করি:
\[
E(X) = 2 \int_{0}^{1} x^2 , dx = 2 \cdot \left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{1}
\]
\[
E(X) = 2 \cdot \left(\frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3}\right) = 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}
\]
সুতরাং, \(E(X) = \frac{2}{3}\)।
or
Lorem ipsum dolor, sit amet consectetur adipisicing elit. Ducimus nihil, quo, quis minus aspernatur expedita, incidunt facilis aliquid inventore voluptate dolores accusantium laborum labore a dolorum dolore omnis qui? Consequuntur sed facilis repellendus corrupti amet in quibusdam ducimus illo autem, a praesentium.
1 hour ago
Lorem ipsum dolor, sit amet consectetur adipisicing elit. Ducimus nihil, quo, quis minus aspernatur expedita, incidunt facilis aliquid inventore voluptate dolores accusantium laborum labore a dolorum dolore omnis qui? Consequuntur sed facilis repellendus corrupti amet in quibusdam ducimus illo autem, a praesentium.
1 hour ago
Lorem ipsum dolor, sit amet consectetur adipisicing elit. Ducimus nihil, quo, quis minus aspernatur expedita, incidunt facilis aliquid inventore voluptate dolores accusantium laborum labore a dolorum dolore omnis qui? Consequuntur sed facilis repellendus corrupti amet in quibusdam ducimus illo autem, a praesentium.
1 hour ago
Lorem ipsum dolor, sit amet consectetur adipisicing elit. Ducimus nihil, quo, quis minus aspernatur expedita, incidunt facilis aliquid inventore voluptate dolores accusantium laborum labore a dolorum dolore omnis qui? Consequuntur sed facilis repellendus corrupti amet in quibusdam ducimus illo autem, a praesentium.
1 hour ago
Lorem ipsum dolor, sit amet consectetur adipisicing elit. Ducimus nihil, quo, quis minus aspernatur expedita, incidunt facilis aliquid inventore voluptate dolores accusantium laborum labore a dolorum dolore omnis qui? Consequuntur sed facilis repellendus corrupti amet in quibusdam ducimus illo autem, a praesentium.
1 hour ago
Lorem ipsum dolor, sit amet consectetur adipisicing elit. Ducimus nihil, quo, quis minus aspernatur expedita, incidunt facilis aliquid inventore voluptate dolores accusantium laborum labore a dolorum dolore omnis qui? Consequuntur sed facilis repellendus corrupti amet in quibusdam ducimus illo autem, a praesentium.
1 hour ago
Lorem ipsum dolor, sit amet consectetur adipisicing elit. Ducimus nihil, quo, quis minus aspernatur expedita, incidunt facilis aliquid inventore voluptate dolores accusantium laborum labore a dolorum dolore omnis qui? Consequuntur sed facilis repellendus corrupti amet in quibusdam ducimus illo autem, a praesentium.
1 hour ago
Lorem ipsum dolor, sit amet consectetur adipisicing elit. Ducimus nihil, quo, quis minus aspernatur expedita, incidunt facilis aliquid inventore voluptate dolores accusantium laborum labore a dolorum dolore omnis qui? Consequuntur sed facilis repellendus corrupti amet in quibusdam ducimus illo autem, a praesentium.
1 hour ago
Lorem ipsum dolor, sit amet consectetur adipisicing elit. Ducimus nihil, quo, quis minus aspernatur expedita, incidunt facilis aliquid inventore voluptate dolores accusantium laborum labore a dolorum dolore omnis qui? Consequuntur sed facilis repellendus corrupti amet in quibusdam ducimus illo autem, a praesentium.
1 hour ago
Lorem ipsum dolor, sit amet consectetur adipisicing elit. Ducimus nihil, quo, quis minus aspernatur expedita, incidunt facilis aliquid inventore voluptate dolores accusantium laborum labore a dolorum dolore omnis qui? Consequuntur sed facilis repellendus corrupti amet in quibusdam ducimus illo autem, a praesentium.
1 hour ago
